Короткий ответ

case class Behavior[S](step: S => Behavior[S])

Длинный ответ (короткая версия)

Терминальные F-Коалгебры довольно крутые.

Длинный ответ

Внимание: много колючей проволоки и бананов или что-то в этом роде...

Итак, предположим, что у вас есть понятие функтора F это отражает то, что означает, что ваше поведение "что-то делает". В большинстве библиотек есть что-то вроде этого:

trait Functor[F[_]]:
  def map[A, B](fa: F[A])(f: A => B): F[B]

Один F-коалгебра A по сути, это просто функция от A Для F[A]:

trait FCoalg[F[_]: Functor, A]:
  def apply(a: A): F[A]

Теперь терминал F-коалгебра T является ли F-коалгебра, которая дополнительно обладает свойством, которое от любого другого F-коалгебра A существует опосредующий морфизм A => T (так, чтобы все ездило на работу, бла-бла-бла):

trait TerminalFCoalg[F[_]: Functor, T] extends FCoalg[F, T]:
  def mediate[A](coalg: FCoalg[F, A]): A => T

Можем ли мы реализовать его для произвольных F? Оказывается, мы можем:

case class TerminalFCoalgCarrier[F[_]: Functor](
  step: () => F[TerminalFCoalgCarrier[F]]
)

given tfcImpl[F[_]: Functor]: TerminalFCoalg[F, TerminalFCoalgCarrier[F]] with
  def apply(a: TerminalFCoalgCarrier[F]): F[TerminalFCoalgCarrier[F]] = a.step()
  def mediate[A](coalg: FCoalg[F, A]): A => TerminalFCoalgCarrier[F] = a =>
    TerminalFCoalgCarrier(() => summon[Functor[F]].map(coalg(a))(mediate(coalg)))

Ради конкретного примера давайте посмотрим, что это приспособление делает для простейшего вообразимого функтора Option:

given Functor[Option] with
  def map[A, B](fa: Option[A])(f: A => B): Option[B] = fa.map(f)

type ConaturalNumber = TerminalFCoalgCarrier[Option]

Оказывается, что терминал F-коалгебра для Option являются так называемыми естественными числами. Это в основном натуральные числа плюс счетная бесконечность. Эти вещи прекрасно подходят для представления длин потенциально бесконечных процессов "щелчка".

Давайте попробуем это на конечном поведении:

enum WelshCounting:
  case Eeny
  case Meeny
  case Miny
  case Moe

object WelshCountingOptionCoalg extends FCoalg[Option, WelshCounting]:
  def apply(w: WelshCounting): Option[WelshCounting] =
    import WelshCounting._
    w match
      case Eeny => None
      case Meeny => Some(Eeny)
      case Miny => Some(Meeny)
      case Moe => Some(Miny)

val welshMediatingMorphism =
  summon[TerminalFCoalg[Option, TerminalFCoalgCarrier[Option]]]
  .mediate(WelshCountingOptionCoalg)

Теперь вышеприведенный механизм автоматически предоставляет нам универсальный способ перевода этих счетных слов в естественные числа. Давайте добавим вспомогательный метод для описания естественных чисел (приблизительно):

def describe(c: ConaturalNumber): String =
  var counter = 0
  var curr = c
  while true do
    curr.step() match
      case None => return s"${counter}"
      case Some(next) =>
        if counter > 42 then
          return "probably infinite"
        else {
          counter += 1
          curr = next
        }
  throw new Error("We have counted to infinity, yay! :D")

Что это говорит о валлийских счетных словах?

@main def demo(): Unit =
  for w <- WelshCounting.values do
    val conat = welshMediatingMorphism(w)
    println(s"${w} -> ${describe(conat)}")

// Eeny -> 0
// Meeny -> 1
// Miny -> 2
// Moe -> 3

Ладно, это здорово. Давайте попробуем бесконечно щелкающий процесс только с одним состоянием, которое является преемником самого себя:

object LoopForever extends FCoalg[Option, Unit]:
  def apply(u: Unit) = Some(())

val loopForeverMediatingMorphism =
  summon[TerminalFCoalg[Option, TerminalFCoalgCarrier[Option]]]
    .mediate(LoopForever)

Как бы это теперь описывало единое государство ()?

println(s"${()} -> ${describe(loopForeverMediatingMorphism(()))}")
// () -> probably infinite

Кажется, это работает.

Полный код:

trait Functor[F[_]]:
  def map[A, B](fa: F[A])(f: A => B): F[B]

trait FCoalg[F[_]: Functor, A]:
  def apply(a: A): F[A]

trait TerminalFCoalg[F[_]: Functor, T] extends FCoalg[F, T]:
  def mediate[A](coalg: FCoalg[F, A]): A => T

case class TerminalFCoalgCarrier[F[_]: Functor](
  step: () => F[TerminalFCoalgCarrier[F]]
)

given tfcImpl[F[_]: Functor]: TerminalFCoalg[F, TerminalFCoalgCarrier[F]] with
  def apply(a: TerminalFCoalgCarrier[F]): F[TerminalFCoalgCarrier[F]] = a.step()
  def mediate[A](coalg: FCoalg[F, A]): A => TerminalFCoalgCarrier[F] = a =>
    TerminalFCoalgCarrier(() => summon[Functor[F]].map(coalg(a))(mediate(coalg)))

given Functor[Option] with
  def map[A, B](fa: Option[A])(f: A => B): Option[B] = fa.map(f)

type ConaturalNumber = TerminalFCoalgCarrier[Option]

def describe(c: ConaturalNumber): String =
  var counter = 0
  var curr = c
  while true do
    curr.step() match
      case None => return s"${counter}"
      case Some(next) =>
        if counter > 42 then
          return "probably infinite"
        else {
          counter += 1
          curr = next
        }
  throw new Error("We cannot count to infinity :(")

enum WelshCounting:
  case Eeny
  case Meeny
  case Miny
  case Moe

object WelshCountingOptionCoalg extends FCoalg[Option, WelshCounting]:
  def apply(w: WelshCounting): Option[WelshCounting] =
    import WelshCounting._
    w match
      case Eeny => None
      case Meeny => Some(Eeny)
      case Miny => Some(Meeny)
      case Moe => Some(Miny)

val welshMediatingMorphism =
  summon[TerminalFCoalg[Option, TerminalFCoalgCarrier[Option]]]
    .mediate(WelshCountingOptionCoalg)

object LoopForever extends FCoalg[Option, Unit]:
  def apply(u: Unit) = Some(())

val loopForeverMediatingMorphism =
  summon[TerminalFCoalg[Option, TerminalFCoalgCarrier[Option]]]
    .mediate(LoopForever)

@main def demo(): Unit =
  for w <- WelshCounting.values do
    val conat = welshMediatingMorphism(w)
    println(s"${w} -> ${describe(conat)}")

  println(s"${()} -> ${describe(loopForeverMediatingMorphism(()))}")