Как я могу использовать функцию Открыть с помощью проводника файлов для открытия текстового файла в моем приложении?

Для этого вам действительно не нужен весь проводник файлов. Используйте OpenFileDialog класс. Вы можете прочитать файл в текстовом поле. Убедитесь, что в текстовом поле, которое вы используете, для многострочной строки установлено значение True.

Private Sub OpenFileInTextBox()
    Dim OFD As New OpenFileDialog
    OFD.InitialDirectory = Environment.GetFolderPath(Environment.SpecialFolder.MyDocuments)
    OFD.Filter = "Text Files (*.txt)|*.txt"
    Dim fileSelected As String = ""
    If OFD.ShowDialog() = DialogResult.OK Then
        fileSelected = OFD.FileName
    Else
        MessageBox.Show("Not file selected")
        Exit Sub
    End If
    TextBox1.Text = File.ReadAllText(fileSelected)
End Sub